پاسخ فعالیت صفحه 56 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ صفحه ۵۶ حسابان یازدهم سلام! این فعالیت مفهوم اساسی **تابع یک به یک (یک-یک)** یا **تابع انژکتیو** را بررسی می‌کند. یک تابع یک به یک است اگر و تنها اگر **هیچ دو ورودی متفاوتی، خروجی یکسانی نداشته باشند**. در نمودار، از **آزمون خط افقی** استفاده می‌کنیم. ↔️ ### آزمون خط افقی * **قانون**: اگر یک خط افقی در هر جای نمودار، نمودار را حداکثر در **یک نقطه** قطع کند، تابع **یک به یک** است. --- ### الف) نمودار خطی ($y = x + ۲$) * **بررسی**: هر خط افقی، نمودار را **دقیقاً در یک نقطه** قطع می‌کند. * **نتیجه**: $\mathbf{یک \quad به \quad یک \quad است}$. * **دلیل**: برای هر خروجی ($y$) یکتا، فقط یک ورودی ($x$) وجود دارد. (تابع قویاً صعودی است). ### ب) نمودار قدر مطلقی ($y = |x| - ۱$) * **بررسی**: اگر خط افقی $y=۱$ را رسم کنیم، نمودار را در دو نقطه (مثلاً $x=۲$ و $x=-۲$) قطع می‌کند. * **نتیجه**: $\mathbf{یک \quad به \quad یک \quad نیست}$. * **دلیل**: به ازای $y=۱$، دو ورودی متفاوت ($x=-۲$ و $x=۲$)، خروجی یکسان می‌دهند. ($\mathbf{f(-۲) = f(۲) = ۱}$) ### پ) تابع گسسته (نقاط مجزا) * **بررسی**: نقاط عبارتند از: $(-۱, ۲), (۱, ۲), (۰, ۱), (۲, -۱), (-۲, -۱)$. * **نقض آزمون**: اگر خط افقی $y=۲$ را رسم کنیم، از دو نقطه $(-۱, ۲)$ و $(۱, ۲)$ می‌گذرد. اگر خط افقی $y=-۱$ را رسم کنیم، از دو نقطه $(۲, -۱)$ و $(-۲, -۱)$ می‌گذرد. * **نتیجه**: $\mathbf{یک \quad به \quad یک \quad نیست}$. * **دلیل**: به ازای $y=۲$ دو ورودی $x=-۱$ و $x=۱$ وجود دارد. ($\mathbf{f(-۱) = f(۱) = ۲}$) ### ت) تابع گسسته (نقاط مجزا) * **بررسی**: نقاط عبارتند از: $(-۲, ۱), (-۱, ۱), (۱, -۱), (۲, -۱)$. * **نقض آزمون**: اگر خط افقی $y=۱$ را رسم کنیم، از دو نقطه $(-۲, ۱)$ و $(-۱, ۱)$ می‌گذرد. اگر خط افقی $y=-۱$ را رسم کنیم، از دو نقطه $(۱, -۱)$ و $(۲, -۱)$ می‌گذرد. * **نتیجه**: $\mathbf{یک \quad به \quad یک \quad نیست}$. * **دلیل**: به ازای $y=۱$ دو ورودی $x=-۲$ و $x=-۱$ وجود دارد. ($\mathbf{f(-۲) = f(-۱) = ۱}$)